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By Robert Sauer

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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Beim Grenzübergang h -+ 0 strebt in GI. 12) die Sumnie h ~ AB gegen ein bestimmtes Integral mit einem endlichen nichtnegativen Wert; wie in Ziff. 4 sind dabei die Anfangsdaten wieder durch vorgegebene Funktionen[(x) und q (x) bestimmt, nämlich / f dann h -+ q(x) + / (x) ~ und r T -+ = [(x), ~ t= Cf (x), woraus q(x) - / (x) folgt. Da die linke Seite in GI. 12) wegen L[tJ = 0 verschwindet und wegen a2 < I alle Summenglieder auf der rechten Seite nichtnegativ sind, bleiben beim Grenzübergang h -+ 0 auch die beiden ersten (nichtnegativen) Summen beschränkt.

Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen. oder bei Benützung von Zylinderkoordinaten x, r, w (Abb. 13) zu q;xx (a2 - 'Px2) + 'Prr(a2 - 2 'Pr2) + f21 'Pww (2a - 1 q;w2 ) f2 2 - ~ 'Prw 'Pr 'Pw - f2 q;xw 'Px 'Pw - 2q;xr q;x 'Pr + ! 8) O. Im Kapitel III werden wir uns vor allem mit den Sonderfällen der ebenen und der drehsymmetrischen Strömungen beschäftigen. Bei den ebenen Strömungen hängt Cf! 7) 'Pxx(a 2 - 'P~) + q;yy(a 2 - q;~) - 2q;XY 'Px 'Py = O. 10) also bis auf das neu hinzugekommene letzte Glied dieselbe Differentialgleichung wie bei der ebenen Strömung.

Außerdem wird auf AB eine zweimal stetig differenzierbare Funktion I (x) und eine stetig differenzierbare Funktion r(x) vorgegeben. Die Anfangswerte der Gitterfunktion in den Punkten A, Al' ... , B sollen der Funktion I(x) entnommen und die Anfangswerte in den darunterliegenden Punkten A 4 , ••• , B 4 so gewählt werden, daß in den Gitterpunkten Al" .. , B ° jeweils ~~- = r(x) h,2 gilt. Für h -+ °geht dann GI. 8) über in - I(x, YJ = I(x - y) 1 + V2 jX+ Y r(x) dx x-V mit l(x,O)=f(x) und 111 (x, 0) =-l'(x)+r(x) V2=q(x).

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